内容摘要

本文聚焦寡头垄断市场中的产量竞争问题，系统解析古诺竞争模型与斯塔克尔伯格竞争模型的核心假设、建模逻辑及均衡求解方法。通过构建线性需求函数与成本函数，结合具体实例演示模型推导过程，并利用MATLAB实现数值求解。
关键词：寡头垄断市场；古诺竞争模型；斯塔克尔伯格模型；产量竞争；博弈论

一、引言

在寡头垄断市场中，少数几家厂商占据主导地位，其产量决策相互影响、彼此制约，形成复杂的博弈关系。古诺竞争模型（Cournot Model）与斯塔克尔伯格竞争模型（Stackelberg Model）是描述寡头产量竞争的两大经典理论，前者假设厂商同时决策，后者引入决策先后顺序，刻画领导厂商与跟随厂商的策略互动。本文将深入剖析两种模型的核心机制，通过数学建模与MATLAB实例求解，揭示寡头市场产量竞争的内在规律。

二、古诺竞争模型：同时决策下的产量均衡

2.1 模型基本假设

古诺模型由法国经济学家奥古斯汀·古诺（Augustin Cournot）于1838年提出，作为寡头理论的基础框架，其核心假设有：

1. 市场结构：仅两家厂商（A和B）生产同质产品，合称“双头模型”，可推广至n家厂商；
2. 信息对称：双方完全知晓市场需求曲线与彼此成本函数；
3. 策略变量：以产量为决策变量，假设对方产量固定，追求自身利润最大化；
4. 成本结构：两厂商生产成本相同，设为线性成本函数 $C=cp$（$p$为产量，$c$为单位成本）。

2.2 市场需求与利润函数构建

设市场需求函数为线性形式：
$$D=a-b(p_1+p_2)$$
其中，$p_1$、$p_2$分别为厂商A和B的产量，$a$为市场容量，$b$为需求价格弹性系数。
厂商A的利润函数为：
$${\pi }_1=p_1\cdot \text{价格}-\text{成本}=p_1\left(a-b(p_1+p_2)\right)-c{p}_1$$
同理，厂商B的利润函数为：
$${\pi }_2=p_2\left(a-b(p_1+p_2)\right)-c{p}_2$$

2.3 反应函数与古诺均衡求解

2.3.1 反应函数推导

厂商A在假设厂商B产量为 $p_2$ 的前提下，通过求利润函数的一阶导数极值，得到最优产量：
$$\frac{\partial {\pi }_1}{\partial p_1}=a-2b{p}_1-b{p}_2-c=0$$
解得厂商A的反应函数：
$$p_1=f(p_2)=\frac{a-c-b{p}_2}{2b}$$
同理，厂商B的反应函数为：
$$p_2=g(p_1)=\frac{a-c-b{p}_1}{2b}$$

2.3.2 古诺均衡计算

联立两个反应函数，求解方程组：
$$\{\begin{array}{l}{p}_1=\frac{a-c-b{p}_2}{2b}\\ p_2=\frac{a-c-b{p}_1}{2b}\end{array}$$
解得对称均衡产量：
$$p_1^{\ast }=p_2^{\ast }=\frac{a-c}{3b}$$
此时市场总产量为 $\frac{2(a-c)}{3b}$，价格为 $a-b(p_1^{\ast }+p_2^{\ast })=\frac{a+2c}{3}$。

2.4 实例分析：双寡头市场产量决策

2.4.1 问题设定

假设市场需求函数为：
$$D=61.2-10(p_1+p_2)$$
两厂商的成本函数均为：
$$C=1.2p$$
即 $a=61.2$，$b=10$，$c=1.2$。

2.4.2 反应函数求解

厂商A的反应函数：
$$p_1=\frac{61.2-1.2-10p_2}{2\times 10}=\frac{60-10p_2}{20}=3-0.5p_2$$
厂商B的反应函数：
$$p_2=3-0.5p_1$$

2.4.3 均衡产量计算

联立方程 $p_1=3-0.5p_2$ 和 $p_2=3-0.5p_1$，解得：
$$p_1^{\ast }=p_2^{\ast }=2$$
即古诺均衡时，两厂商产量均为2单位，市场总产量为4单位，价格为 $61.2-10\times 4=21.2$，各厂商利润为 $2\times 21.2-1.2\times 2=40$。

三、斯塔克尔伯格竞争模型：序贯决策下的产量博弈

3.1 模型核心特征

斯塔克尔伯格模型由德国经济学家海因里希·斯塔克尔伯格（Heinrich Stackelberg）于1934年提出，与古诺模型的关键区别在于：

• 决策顺序：厂商1（领导厂商）先决定产量，厂商2（跟随厂商）观察到厂商1的产量后再决策；
• 策略逻辑：领导厂商需预判跟随厂商的反应，将其反应函数纳入自身优化问题，追求利润最大化。

3.2 建模步骤：从跟随厂商到领导厂商

3.2.1 跟随厂商（厂商2）的反应函数

给定领导厂商产量 $p_1$，厂商2的利润函数为：
$${\pi }_2=p_2\left(a-b(p_1+p_2)\right)-c{p}_2$$
求导得反应函数（与古诺模型相同）：
$$p_2=g(p_1)=\frac{a-c-b{p}_1}{2b}$$

3.2.2 领导厂商（厂商1）的优化问题

将跟随厂商的反应函数代入领导厂商的利润函数：
$${\pi }_1=p_1\left(a-b\left(p_1+\frac{a-c-b{p}_1}{2b}\right)\right)-c{p}_1$$
化简后为单变量优化问题，求导得最优产量：
$$p_1^{\ast }=\frac{a-c}{2b}$$
跟随厂商的最优产量为：
$$p_2^{\ast }=\frac{a-c-b{p}_1^{\ast }}{2b}=\frac{a-c}{4b}$$

3.3 实例分析：领导-跟随模式下的产量决策

3.3.1 问题设定

沿用古诺模型的参数：$a=61.2$，$b=10$，$c=1.2$，假设厂商1为领导厂商，厂商2为跟随厂商。

3.3.2 跟随厂商反应函数

$$p_2=\frac{60-10p_1}{20}=3-0.5p_1$$

3.3.3 领导厂商优化模型

将 $p_2=3-0.5p_1$ 代入厂商1的利润函数：
$${\pi }_1=p_1\left(61.2-10(p_1+3-0.5p_1)\right)-1.2p_1=p_1(31.2-5p_1)-1.2p_1=30p_1-5p_1^2$$
求导得极值点：
$$\frac{d{\pi }_1}{d{p}_1}=30-10p_1=0⟹p_1^{\ast }=3$$
跟随厂商产量：
$$p_2^{\ast }=3-0.5\times 3=1.5$$

3.3.4 MATLAB求解实现

利用MATLAB的fmincon函数求解约束优化问题，目标函数需转换为最小化形式：

% 定义目标函数（负利润，求最大值转化为求最小值）
function f = stackelberg_obj(x)
    p1 = x(1);
    p2 = 3 - 0.5 * p1;  % 跟随厂商反应函数
    f = -(p1 * (61.2 - 10*(p1 + p2)) - 1.2 * p1);
end

% 求解优化问题
x0 = [2];  % 初始猜测
[x, fval] = fmincon(@stackelberg_obj, x0, [], [], [], [], 0, Inf);

运行结果：
$$p_1=3,p_2=1.5,\text{利润}=45$$
对比古诺均衡，领导厂商产量增加，利润提升（45 vs 40），跟随厂商产量下降，利润减少（$1.5\times (61.2-10\times 4.5)-1.2\times 1.5=27$ vs 40），体现了先动优势。

四、两种模型的对比分析

特征	古诺模型	斯塔克尔伯格模型
决策顺序	同时决策	领导厂商先决策，跟随厂商后决策
均衡性质	纳什均衡	子博弈完美纳什均衡
产量关系	对称均衡（$p_1=p_2$）	领导厂商产量 > 跟随厂商产量
市场效率	总产量较低，价格较高	总产量较高，价格较低
适用场景	无主导厂商的对称市场	存在明显领导厂商的行业

4.1 先动优势的来源

斯塔克尔伯格模型中，领导厂商通过承诺产量（不可逆转的决策）迫使跟随厂商调整策略，将其反应函数纳入自身优化，从而占据策略优势。这种优势在实际中表现为核心企业（如行业龙头）通过产能扩张、技术投资等手段建立先发优势。

4.2 均衡产量与社会福利

古诺均衡与斯塔克尔伯格均衡均非社会最优（社会最优产量为竞争均衡产量 $p=\frac{a-c}{b}$），但斯塔克尔伯格模型的总产量更接近竞争均衡，表明序贯决策可能提升市场效率，减少垄断福利损失。

五、扩展：多厂商古诺模型与行业均衡

当市场中存在 $n$ 家厂商时，古诺均衡产量为：
$$p_i^{\ast }=\frac{a-c}{(n+1)b}$$
市场总产量为 $\frac{n(a-c)}{(n+1)b}$，随厂商数量增加，总产量趋近于竞争均衡（$n\to \infty$ 时，$p_i^{\ast }\to 0$，总产量 $\to \frac{a-c}{b}$）。
这一结论为分析行业集中度与市场竞争程度提供了理论工具，例如，垄断（$n=1$）时产量为 $\frac{a-c}{2b}$，双寡头（$n=2$）时产量为 $\frac{2(a-c)}{3b}$，符合“厂商越多，竞争越激烈”的直觉。

六、总结与应用启示

6.1 理论价值

古诺模型与斯塔克尔伯格模型分别刻画了寡头市场中同时决策与序贯决策的策略互动，是理解企业竞争行为的基础框架。两者的均衡解为分析市场结构、产量竞争、价格形成提供了数学工具，尤其适用于制造业、通信业等寡头垄断行业。

6.2 实践意义

• 企业策略：领导厂商可通过斯塔克尔伯格模型制定产能扩张策略，获取先动优势；跟随厂商需灵活应对，避免被动挨打。
• 政策制定：监管机构可通过模型评估行业集中度变化对市场效率的影响，制定反垄断政策（如限制并购、促进新厂商进入）。

6.3 模型局限性

• 假设条件严格（如线性需求、固定成本），实际应用需结合非线性函数与动态博弈扩展；
• 未考虑产品差异化、价格竞争、技术创新等复杂因素，需与伯特兰模型（价格竞争）、研发博弈等结合使用。

通过MATLAB等工具实现模型求解，可将抽象的博弈理论转化为具体的决策方案，帮助企业与研究者在数据驱动下优化策略。寡头垄断市场的产量竞争本质上是策略互动的结果，理解模型背后的逻辑，方能在复杂竞争环境中占据主动。