鲁 鹏，北京理工大学宇航学院

为了将离散信号重新转换成连续信号，常使用零阶保持 (zero-order hold, ZOH) 模型或一阶保持 (first order hold) 模型 。本文将推导线性系统零阶保持器和一阶保持器离散公式

定义矩阵的指数函数为
$$e^A=\exp (A)=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}\text{\hspace{1em}(1)}$$
任意的方阵 A 均可以转换为 Jordan 标准型（矩阵论里的知识），即 $A=PJ{P}^{-1}$ ，并且 Jordan 标准型的幂可以轻松求解。此时再求 $A^n=P{J}^n{P}^{-1}$ 就很好求了。

我们考虑如下线性系统
$$\dot{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)+B(t)\mathbf{u}(t)+\Sigma (t)\sigma +\mathbf{z}(t)\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，$\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 是状态向量，$\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^m$ 是控制向量，$\sigma \in \mathbb{R}$ 是参数，$A(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是状态矩阵，$B(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$是控制矩阵，$\Sigma (t)\in {\mathbb{R}}^n$是参数矩阵，$\mathbf{z}(t)\in {\mathbb{R}}^n$是扰动。该系统的状态转移矩阵可以参考[1]

状态转移矩阵$\Phi (t,t_0)$的性质 [3]

使用以上性质可以推导出线性系统 (2) 的解
$$\begin{gathered} \dot{x}(t)-A(t)x(t)=B(t)u(t)+\Sigma (t)\sigma +z(t) \\ {\Phi }^{-1}(t,t_k)\dot{x}(t)-{\Phi }^{-1}(t,t_k)A(t)x(t)={\Phi }^{-1}(t,t_k)\left[B(t)u(t)+\Sigma (t)\sigma +z(t)\right] \\ \frac{d}{dt}\left[{\Phi }^{-1}(t,t_k)x(t)\right]={\Phi }^{-1}(t,t_k)\left[B(t)u(t)+\Sigma (t)\sigma +z(t)\right] \\ {\Phi }^{-1}(t,t_k)x(t)-{\Phi }^{-1}(t_k,t_k)x(t_k)={\int }_{t_k}^t{\Phi }^{-1}(\xi ,t_k)\left[B(\xi )u(\xi )+\Sigma (\xi )\sigma +z(\xi )\right]d\xi \\ x(t)=\Phi (t,t_k)x(t_k)+\Phi (t,t_k){\int }_{t_k}^t{\Phi }^{-1}(\xi ,t_k)\left[B(\xi )u(\xi )+\Sigma (\xi )\sigma +z(\xi )\right]d\xi \end{gathered}$$

$$x(t)=\Phi (t,t_k)x(t_k)+{\int }_{t_k}^t\Phi (t,\xi )\left[B(\xi )u(\xi )+\Sigma (\xi )\sigma +z(\xi )\right]d\xi \text{\hspace{1em}(3)}$$

零阶保持模型

使用零阶保持模型离散时，控制量在采样时刻之间保持不变，即
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t_k),\forall t\in [t_k,t_{k+1})\text{\hspace{1em}(4)}$$
$t_k,t_{k+1}$是时间离散点。

当控制有上面 (4) 的形式时，公式 (3) 可以简化为

一阶保持模型

使用一阶保持模型离散时，控制量在采样时刻之间线性变化，即
$$\begin{gathered} \mathbf{u}(t)={\lambda }_k^{-}(t)\mathbf{u}(t_k)+{\lambda }_k^{+}(t)\mathbf{u}(t_{k+1}),\forall t\in [t_k,t_{k+1}) \\ {\lambda }_k^{-}(t)\triangleq \frac{t_{k+1}-t}{t_{t+1}-t_k} \\ {\lambda }_k^{+}(t)\triangleq \frac{t-t_k}{t_{t+1}-t_k}\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$
当控制有上面 (5) 的形式时，公式 (3) 可以简化为

参考：

[1] https://blog.csdn.net/qq_25777815/article/details/102509131

[2] https://dsp.stackexchange.com/questions/59725/derivation-of-zoh-discretization

[3] Danylo Malyuta, Taylor Reynoldsm, Michael Szmuk .et al. Discretization Performance and Accuracy Analysis for the Rocket Powered Descent Guidance Problem [C] AIAA Scitech 2019 Forum, https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/6.2019-0925.