内容摘要

本文聚焦易拉罐下料问题，详细阐述其问题分析、数学模型构建及求解过程。通过对不同冲压模式的分析，以净利润最大为目标建立模型，并利用相关工具求解。
关键词：易拉罐下料；数学模型；净利润最大化；约束条件

一、引言

在制造业中，下料问题一直是影响生产成本和生产效率的关键因素。对于易拉罐生产企业来说，如何合理利用原材料进行冲压，在满足生产需求的同时最大化利润，是一个亟待解决的重要问题。本文将深入探讨易拉罐下料问题，通过建立数学模型并求解，为企业提供科学的生产决策依据。

二、易拉罐下料问题实例

2.1 问题描述

某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，该易拉罐由镀锡板冲压制成，包括罐身、上盖和下底。罐身高10cm，上盖和下底的直径均为5cm。某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，该易拉罐由镀锡板冲压制成，包括罐身、上盖和下底。罐身高10cm，上盖和下底的直径均为5cm。
公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24cm；规格2的镀锡板为长方形，长、宽分别为32cm和28cm。公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24cm；规格2的镀锡板为长方形，长、宽分别为32cm和28cm。

由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀锡板原料，只可以按照图1中的模式1、2或3进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照模式4进行冲压。使用模式1、2、3、4进行每次冲压所需要的时间分别为1.5s、2s、1s、3s。

该工厂每周工作40h，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为$0.001元/c{m}^2$（如果周末有罐身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。在这些条件下，工厂需要确定如何安排每周的生产，以实现利润最大化。

2.2 问题分析

1. 计算余料损失：与钢管下料问题不同，易拉罐下料问题中切割模式已经确定，关键在于计算各种模式下的余料损失。已知上盖和下底的直径$d=5cm$，根据圆的面积公式$S=\frac{\pi d^2}{4}$，可得其面积为$S_1=\pi d^2/4\approx 19.6c{m}^2$，周长$L=\pi d\approx 15.7cm$。已知罐身高$h=10cm$，根据圆柱侧面积公式$S=hL$，可得罐身面积为$S_2=hL\approx 157.1c{m}^2$。由此可计算出模式1下的余料损失为$24^2-9S_1-S_2\approx 242.2c{m}^2$。同理计算其它模式下的余料损失，并将4种冲压模式的特征归纳如下表所示：

3. 确定目标与约束：问题的目标是使易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大。约束条件除了每周工作时间和原料数量限制外，还要考虑罐身和底、盖的配套组装问题。因为只有罐身和底、盖数量匹配才能组装成完整的易拉罐进行销售，所以配套组装的约束至关重要。

2.3 模型建立

1. 决策变量：用$x_i$表示按照第$i$种模式的冲压次数（$i=1,2,3,4$），$y_1$表示一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的原料损失，用$y_2$表示不配套的罐身个数，$y_3$表示不配套的底、盖个数。考虑到生产量较大，为简化计算，可把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理，计量单位为万。
2. 决策目标：假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销售利润是$0.1y_1$。原料余料损失包括两部分：4种冲压模式下的余料损失，和不配套的罐身和底、盖造成的原料损失。按照前面的计算及表中的结果，总损失为$$0.001(242.2x_1+202.9x_2+340.4x_3+189.1x_4+157.1y_2+19.6y_3)$$。于是，决策目标为：
   $$\max 0.1y_1-0.001(242.2x_1+202.9x_2+340.4x_3+189.1x_4+157.1y_2+19.6y_3)$$
3. 约束条件：
   • 时间约束：每周工作时间不超过$40h=144000s=14.4$（万秒），由表中最后一列可得$1.5x_1+2x_2+x_3+3x_4\le 14.4$。这是因为冲压时间总和不能超过每周的工作总时长，否则无法完成生产任务。
   • 原料约束：每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张，即$x_1+x_2+x_3\le 5$，$x_4\le 2$。原料数量的限制直接决定了不同冲压模式的最大使用次数。
   • 配套约束：由表可知，一周生产的罐身个数为$x_1+2x_2+4x_4$，一周生产的底、盖个数为$9x_1+3x_2+12x_3+4x_4$。因为要尽可能将它们配套组装成易拉罐销售，所以$y_1$满足 y 1 = min ⁡ { x 1 + 2 x 2 + 4 x 4 , ( 9 x 1 + 3 x 2 + 12 x 3 + 4 x 4 ) / 2 } y_{1}=\min \{x_{1}+2x_{2}+4x_{4},(9x_{1}+3x_{2}+12x_{3}+4x_{4}) / 2\} y1​=min{x1​+2x2​+4x4​,(9x1​+3x2​+12x3​+4x4​)/2}。此时不配套的罐身个数$y_2$和不配套的底、盖个数$y_3$应为$$y_2=x_1+2x_2+4x_4-y_1$$ $$y_3=9x_1+3x_2+12x_3+4x_4-2y_1$$。配套约束确保了生产出的罐身和底、盖能够最大程度地组装成易拉罐，避免因不配套而造成的原料浪费。

2.4 模型求解

1. 求解方法：编写Matlab程序如下：

% 定义目标函数系数
f = [-0.1, 0.2422, 0.2029, 0.3404, 0.1891, 0.1571, 0.0196];

% 定义线性不等式约束矩阵A和向量b
A = [1.5, 2, 1, 3, 0, 0, 0;
     1, 1, 1, 0, 0, 0, 0;
     0, 0, 0, 1, 0, 0, 0];
b = [14.4; 5; 2];

% 定义等式约束矩阵Aeq和向量beq（这里没有等式约束，设为空）
Aeq = [];
beq = [];

% 定义决策变量的下限
lb = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];
% 决策变量没有上限，设为空
ub = [];

% 定义非线性约束函数
nonlcon = @(x) canning_constraints(x);

% 调用fmincon函数求解
[x, fval] = fmincon(@(x) f*x', x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);

% 输出结果
fprintf('按照模式1冲压次数: %.0f\n', x(2));
fprintf('按照模式2冲压次数: %.0f\n', x(3));
fprintf('按照模式3冲压次数: %.0f\n', x(4));
fprintf('按照模式4冲压次数: %.0f\n', x(5));
fprintf('一周生产的易拉罐个数: %.0f\n', x(1));
fprintf('不配套的罐身个数: %.0f\n', x(6));
fprintf('不配套的底、盖个数: %.0f\n', x(7));
fprintf('净利润: %.2f万元\n', -fval);

% 非线性约束函数的具体实现
function [c, ceq] = canning_constraints(x)
    y1 = x(1);
    x1 = x(2);
    x2 = x(3);
    x3 = x(4);
    x4 = x(5);
    y2 = x(6);
    y3 = x(7);

    % 配套约束条件
    c1 = y1 - (x1 + 2*x2 + 4*x4);
    c2 = y1 - (9*x1 + 3*x2 + 12*x3 + 4*x4)/2;
    c3 = x1 + 2*x2 + 4*x4 - y1 - y2;
    c4 = 9*x1 + 3*x2 + 12*x3 + 4*x4 - 2*y1 - y3;

    c = [c1; c2; c3; c4];
    ceq = [];
end

2. 结果分析：通过分析结果，企业可以清晰地了解到每种冲压模式的最优使用次数、每周生产的易拉罐数量以及不配套的罐身和底、盖数量，从而根据这些信息合理安排生产，实现利润最大化的目标。

2.5 评注

1. 下料问题建模要点：下料问题的建模主要包含确定下料模式和构造优化模型两部分。对于易拉罐下料这类二维问题，相较于钢管下料这样的一维问题更为复杂。在确定下料模式时，需要考虑原材料的规格、冲压工艺的限制以及产品的形状和尺寸等多个因素。构造优化模型时，则要综合考虑各种约束条件，确保模型能够准确反映实际生产情况。
2. 模型优化方向：在实际应用中，企业可以根据市场需求的变化、原材料价格的波动以及生产工艺的改进等因素，对模型进行进一步的优化。例如，当易拉罐的市场需求发生变化时，可调整决策目标和约束条件，重新求解模型，以适应市场变化，保持企业的竞争力。

三、总结

易拉罐下料问题通过建立合理的数学模型并求解，为企业提供了科学的生产决策依据。在实际生产中，企业可以根据模型的计算结果，合理安排冲压模式的使用次数，优化生产流程，减少原料余料损失，提高生产效率和利润。