Ridge Regression (岭回归，又名 Tikhonov regularization)

岭回归是线性回归的正则化版本，即在原来的线性回归的 cost function 中添加正则项（regularization term）
$$\alpha \sum _{i=1}^n{\theta }_i^2$$
以达到在拟合数据的同时，使模型权重尽可能小的目的,岭回归代价函数：
$$J(\theta )=MES(\theta )+\alpha \sum _{i=1}^n{\theta }_i^2$$
即：

$$J(\theta )=\frac{1}{\mathrm{m}}\sum _{i=1}^m({\theta }^T\cdot x^{(i)}-y^{(i)}{)}^2+\alpha \sum _{i=1}^n{\theta }_i^2$$

α=0：岭回归退化为线性回归

Lasso Regression(Lasso 回归)

Lasso 回归是线性回归的另⼀种正则化版本，正则项为权值向量的ℓ1范数。
Lasso回归的代价函数 ：
$$J(\theta )=MES(\theta )+\alpha \sum _{i=1}^n\left|{\theta }_i\right|$$
【注意 】

• Lasso Regression 的代价函数在 θi=0处是不可导的.
• 解决方法：在θi=0处用⼀个次梯度向量(subgradient vector)代替梯度，如下式
• Lasso Regression 的次梯度向量
  
  Lasso Regression 有⼀个很重要的性质是：倾向于完全消除不重要的权重。

例如：当α 取值相对较⼤时，高阶多项式退化为二次甚至是线性：高阶多项式特征的权重被置为0。
也就是说，Lasso Regression 能够自动进行特征选择，并输出⼀个稀疏模型（只有少数特征的权重是非零的）。

Elastic Net (弹性网络)

弹性网络在岭回归和Lasso回归中进行了折中，通过 混合比(mix ratio) r 进行控制：
r=0：弹性网络变为岭回归
r=1：弹性网络便为Lasso回归
弹性网络的代价函数 ：
$$J(\theta )=MES(\theta )+r\alpha \sum _{i=1}^n\left|{\theta }_i\right|+\frac{1-\mathrm{r}}{2}\alpha \sum _{i=1}^n{\theta }_i^2$$

⼀般来说，我们应避免使用朴素线性回归，而应对模型进行⼀定的正则化处理，那如何选择正则化方法呢？

小结：

• 常用：岭回归

• 假设只有少部分特征是有用的：

  • 弹性网络
  • Lasso
  • ⼀般来说，弹性网络的使用更为⼴泛。因为在特征维度高于训练样本数，或者特征是强相关的情况下，Lasso回归的表现不太稳定。

• api:

from sklearn.linear_model import Ridge, ElasticNet, Lasso